Antwoord 14: De twee transformaties zijn $x'=\gamma(v)(x-vt),~y'=y,~z'= z,~t'=\gamma(v)(t-vx/c^2)$ en $x''=x',~y''=\gamma(v)(y'-vt'),~z''=z',~t''=\gamma(v) (t'-vy'/c^2)$. De gecombineerde transformatie is nu $x''=\gamma(v)(x-vt)$, $y''= \gamma(v)(y-v\gamma(v)(t-vx/c^2))$, z"=z, $t''=\gamma(v)[\gamma(v)(t-vx/c^2)-v y/c^2]$. (We schrijven v i.p.v. u, om de lengte van $\vec u$ niet te verwarren met u.) Dit resultaat proberen we zo veel mogelijk in de vorm van verg. (4.41) te schrijven:

$x''=x+(\gamma(v)-1)x-\gamma(v)vt$, $y''=y+(\gamma(v)-1)\left(\frac{ \gamma(v)v^2}{(\gamma(v)-1)c^2}x+y\right)-\gamma^2(v)vt$, z"=z, $t''=-\frac{\gamma(v)}{c^2}\Bigl(\gamma(v)vx+vy\Bigr)+\gamma^2(v)t$.Stel nu dat verg. (4.41) geldig is. Dan volgt dat $\gamma(u)u_x t=\gamma(v)vt$, $\gamma(u)u_yt=\gamma^2(v)vt$, $\gamma(u)u_zt=0$ en $\gamma(u)t=\gamma^2(v)t$.

Met de laatste gelijkheid vinden we $\gamma(u)=\gamma^2(v)$, zodat uit de eerste drie af te leiden is dat $\vec u=(v/\gamma(v),v,0)$. Hiermee is $u^2=\vec u\!\cdot\!\vec u=v^2(1-v^2/c^2)+v^2$, waaruit volgt $\gamma(u)= 1/\sqrt{1-v^2(2-v^2/c^2)/c^2}=\gamma^2(v)$, als check. Met deze waarden voor $\vec u$ luidt verg. (4.41)

$x''=x+(\gamma(u)-1)\left(\frac{v^2}{\gamma^2(v)u^2}x+\frac{v^2}{u^2}y\right)- \gamma(v)vt$, $y''=y+(\gamma(u)-1)\left(\frac{v^2}{\gamma(v)u^2}x+\frac{v^2}{ u^2}y\right)-\gamma(u)vt$, z"=z, $t''=-\frac{\gamma(u)}{c^2}\Bigl( \gamma(v)^{-1}vx+vy\Bigr)+\gamma(u)t$

Alleen al aan de uitdrukking voor x", waarin geen y voorkomt, zien we dat dit niet overeenkomt met het eerder gevonden resultaat.