11.
We beschouwen de voorvallen $\underline{x}_I=(2\times 10^{-9}c;0,3; 0,5;0)m$ en $\underline{x}_{II}=(3\times 10^{-9}c;0,4;0,7;0)m$. (Let op: alleen hier lees voor c, s/m, en in deze uitwerking is de eerste component van de 4-vector de tijd of het tijdsverschil, en niet als gewoonlijk tijd maal lichtsnelheid -- sorry voor de verwarring).
a.
Voor de verschil-viervector $\underline{y}= \underline{x}_{II}-\underline{x}_I=(0,3c^{-1}m;0,1m;0,2m;0m)$ geldt y2=(0,09-(0,01+0,04))m2=0,04 m2>0. De voorvallen zijn tijdachtig gescheiden, derhalve kan II veroorzaakt zijn door I. (Immers, de ruimtelijke afstand bedraagt 0,224m, het tijdsverschil bedraagt 0,3c-1m. In deze tijd kan een lichtsignaal van I naar II, dus I en II zijn causaal verbonden.
b.
Als er een stelsel S' bestaat waarin I en II gelijktijdig zijn, is er een standaard Lorentz transformatie L (verschil-viervectoren transformeren altijd onder een homogene, standaard Lorentz transformatie) van S naar S' zodat $\underline{y}'=(0,\vec y')$. Dan y'2 <0. We hadden echter y2>0. Aangezien iedere Lorentz transformatie y2 invariant laat is zo'n Lorentz transformatie er niet.
c.
Er is wel een stelsel S'' waarin I en II gelijke ruimtelijke posities hebben. S'' is met S gerelateerd via een standaard Lorentz transformatie. We willen $\vec y$"=0. Dan geldt $y''^2=c^2\Delta t''^2=y^2=(0,2m)^2$. Dus y0"=$\Delta t''=0,2c^{-1}m=0,667\times 10^{-9}s$. S'' beweegt in de richting van $\vec y =(0,1m;0,2m;0m)$. De grootte van de snelheid is $\vert\vec y\vert/y_0=0,745 c$. (Dat dit werkt is als volgt in te zien: we draaien $\vec y$ naar de positieve $\tilde{x}$-as van een hulpstelsel $\tilde{S}$, zodat $\tilde{x}=\vert\vec y\vert$, en we voeren een Lorentz transformatie met snelheid w in deze richting uit. Dan geldt $\tilde{x}''=\gamma(\tilde{x}-wy_0)\equiv0$. Hieruit volgt de grootte van de snelheid $w=\tilde{x}/y_0$. Na terugdraaien geldt $\vec y''=0$, zodat I en II gelijke ruimtelijke posities hebben gekregen in S''.)
d.
i.
De verschil-viervector is $\underline{y}= \underline{x}_{I}-\underline{x}_{II}=(0,3c^{-1}m;0,3m;-0,1m;0m)$. Voor de lengte van de viervector $\underline{y}$ geldt nu y2=(0,32-(0,32+0,12)) m2=-(0,1 m)2<0. $\underline{y}$ is dus een ruimteachtige vector. De voorvallen I en II zijn derhalve ruimtelijk gescheiden en kunnen dus niet causaal verbonden zijn.
ii.
Er is een stelsel waarin I en II gelijktijdig zijn. We zoeken weer een geschikte Lorentz transformatie L. Voor gelijktijdigheid eisen we nu $y'=(0,\vec y')$.Er geldt dan $y'^2=-\vert\vec y'\vert^2=y^2=-(0,1 m)^2$. Dit geeft de afstand $\vert\vec y'\vert= 0,1m$ in S'. Om de Lorentz transformatie te vinden gaan we weer in een stelsel zitten waarin de ruimtelijke verschil-vector langs de $\tilde{x}$-as ligt, zodat $\tilde{x}=\vert\vec y\vert=0,316m$. Langs deze as voeren we de Lorentz transformatie uit, de richting ervan wordt dus weer gegeven door $\vec y$. We willen $y'_0=\gamma( y_0-w\tilde{x}/c^2)=0$. Hieruit volgt direct $w=c^2 y_0/\tilde{x}=c^2(0,3c^{-1} m)/(0,316m)=0,949 c$. De standaard Lorentz transformatie die I en II relateert is nu bepaald.
iii.
Een stelsel S'' waarin I en II gelijke ruimtelijke posities hebben is er niet, dan zou immers voor $\underline{y}'=(y''_0,\vec 0)$ gelden y''2=c2y''20>0. Dit laatste is in tegenspraak met y''2=y2<0.
Zie ook de uitwerking van opgave 19 uit de syllabus.