13.
a.
We hanteren dezelfde definitie van relativistische kinetische energie Trel als in de vorige opgave, Trel=Erel-E0. Hieruit volgt Erel =Trel+E0=2mc2+mc2=3mc2. Anderzijds, $E_{rel}=\gamma(v)mc^2$, zodat $\gamma=3$, $v=2c\sqrt{2}/3$. We gebruiken hetzelfde principe als in opgave 6. Voor de energie-impuls vectoren vóór de botsing geldt
\begin{displaymath} p_1=\left(\begin{array} {c}\gamma mc\\ \gamma mv\end{array}... ... p_2 = \left( \begin{array} {c} 2 m c\\ 0 \end{array}\right).\end{displaymath} (28)
Na de botsing geldt, wegens energie-impuls behoud,  
 \begin{displaymath} p'=\left(\begin{array} {c}\gamma'm'c\\ \gamma'm'v'\end{arra... ..._2= \left(\begin{array} {c}5mc\\ 2\sqrt{2}mc\end{array}\right)\end{displaymath} (29)
Uit p'2=m'2c2 vinden we voor de massa m' van het nieuwe deeltje m'2 c2=(25-8)m2c2, ofwel $m'=\sqrt{17}m$. Uit vgl. (29) lezen we nu af dat $\gamma'=5/\sqrt{17}$, zodat $v'=2c\sqrt{2}/5$, de snelheid van het nieuwe deeltje.
b.
Volkomen analoog aan de vorige opgave beginnen we met de energie-impulsvectoren voor de botsing,
\begin{displaymath} p_{foton}=\left(\begin{array} {c}E/c\\ E/c\end{array}\right)... ...ad p_{deeltje}=\left(\begin{array} {c}mc\\ 0\end{array}\right)\end{displaymath} (30)
(Een foton heeft energie $E=h\nu$ en impuls $p=h/\lambda=h\nu/c=E/c$, en dus rustmassa nul, m 2c2=E2/c2-p2=0.) Na de botsing geldt voor het nu aangeslagen (en daardoor zwaarder geworden) deeltje  
 \begin{displaymath} p'=\left(\begin{array} {c}\gamma m'c\\ \gamma m'v\end{array... ...eeltje}= \left(\begin{array} {c}mc+E/c\\ E/c\end{array}\right)\end{displaymath} (31)
De massa van het deeltje in aangeslagen toestand is nu $m'=c^{-1}\sqrt{p^2}= \sqrt{(m+E/c^2)^2-(E/c^2)^2}$ $=\sqrt{m^2+2mE/c^2}\gt m$,$\gamma^2=(m+E/c^2)^2/m'^2=(m+E/c^2)^2/(m(m+2E/c^2))$ (zie vgl. (31)). De snelheid die het deeltje krijgt is dus $v=c\sqrt{1-\gamma^{-2}}=Ec/(mc^2+E)$.