4. De lezing van de professor over gekromde ruimte, de zwaartekracht en het heelal

Dames en heren:

Vandaag ga ik het probleem behandelen van de gekromde ruimte en het verband hiervan met het verschijnsel van de zwaartekracht. Ik twijfel er niet aan dat ieder van U zich zonder moeilijkheden een kromme lijn of een gekromd oppervlak kan voorstellen, maar zodra ik begin over een gekromde, drie-dimensionale ruimte, zie ik Uw wenkbrauwen omhoog gaan en bent U geneigd te denken dat dit uiterst ongebruikelijk, welhaast bovennatuurlijk is. Wat is de reden voor deze algemene "afschuw" van een gekromde ruimte, en is dit begrip werkelijk zoveel moeilijker dan dat van een gekromd oppervlak? Velen onder U zullen, als ze een beetje nadenken, vermoedelijk zeggen dat ze het moeilijk vinden zich een gekromde ruimte voor te stellen omdat ze er niet van buitenaf naar kunnen kijken zoals naar het gekromde oppervlak van een bol, of, om een ander voorbeeld te nemen, op het vrij merkwaardig gekromde oppervlak van een zadel. Degenen echter die dit zeggen geven daarmee toe dat ze niet weten wat de strikte wiskundige betekenis is van kromming, die inderdaad nogal verschilt van de algemene betekenis van het woord. Wij wiskundigen, noemen een oppervlak gekromd als de eigenschappen van meetkundige figuren die we hierop tekenen verschillen van die getekend op een plat vlak, en we stellen de kromming vast door de afwijking van de klassieke Euclidische meetkunde te bepalen. Als U een driehoek tekent op een vlak stuk papier, dan is de som van de hoeken, zoals U uit de elementaire meetkunde weet, gelijk aan twee rechte hoeken. U kunt dit papier buigen zodat het een cylinder of kegel of een ingewikkelder figuur wordt, maar de som van de hoeken van de driehoek die erop is getekend, zal altijd gelijk blijven aan twee rechte hoeken.
De meetkunde van het oppervlak verandert niet door deze vervormingen en, gezien vanuit het gekromde binnenste, zijn de verkregen oppervlakken (gerkromd volgens het spraakgebruik) even vlak als een plat vlak. Maar U kunt een vel papier niet op het oppervlak van een bol of zadel krijgen zonder het uit te rekken, en, als U probeert een driehoek te tekenen op een bol (d.w.z. een boldriehoek) dan gelden de eenvoudige stellingen van de Euclidische meetkunde niet meer. Zo heeft bijvoorbeeld een driehoek gevormd door de noordelijke helften van twee meridianen en een stukje van de evenaar, twee rechte hoeken en een willekeurige tophoek.
Op een zadeloppervlak zult U tot uw verbazing bemerken dat de som van de hoeken van een driehoek altijd kleiner is dan twee rechte hoeken.
Dus om de kromming van een oppervlak te bepalen is het noodzakelijk om de meetkunde van dit oppervlak te bestuderen, terwijl er van buitenaf naar kijken vaak misleidend is. Door alleen maar te kijken zult U het oppervlak van een cylinder waarschijnlijk gelijksoortig noemen aan dat van een ring, terwijl het eerste vlak en het tweede ongeneeslijk gekromd is. Zodra U gewend raakt aan dit nieuwe strikt omschreven begrip kromming, zult U geen enkele moeite meer hebben om te begrijpen wat de natuurkundige bedoelt wanneer hij de vraag stelt of onze ruimte gekromd is of niet. Het enige probleem is vast te stellen of de meetkundige figuren die we in de natuurkundige ruimte construeren al of niet voldoen aan de Euclidische meetkunde.
Aangezien we spreken over de werkelijke natuurkundige ruimte moeten we eerst natuurkundig definieren wat we verstaan onder de gebruikte meetkundige termen en, in het bijzonder, aangeven wat we bedoelen met het begrip rechte lijn waarmee we onze figuren construeren.
Ik neem aan dat de meeste onder U weten dat een rechte lijn in het algemeen wordt gedefinieerd als de kortste afstand tussen twee punten; ze is te verkrijgen door een koord te spannen tussen de twee punten of, op een gelijkwaardige maar arbeidsintensievere wijze, door proefondervindelijk de lijn te vinden tussen de twee punten waarlangs het minimum aantal meetlatten past van een gegeven lengte.
Om te laten zien dat het resultaat van een dergelijke methode om een rechte lijn te vinden afhankelijk is van de natuurkundige omstandigheden, stellen we ons een groot rond platform voor dat eenparig rond haar as draait, en een onderzoeker die probeert de kortste afstand te bepalen tussen twee punten op de rand van dit platform. Hij heeft een doos met een hele boel meetlatten, elk 25 cm lang, en probeert ze achter elkaar te leggen tussen de twee punten zo dat hij er een minimum aantal voor nodig heeft. In het geval dat het platform stil had gestaan was de lijn waarlangs hij zijn meetlatten zou leggen duidelijk. Maar doordat het platform draait hebben zijn meetlatten last van de relativistische contractie die ik in mijn vorige lezing besprak, en de latten die dichter bij de rand liggen (en daardoor grotere snelheid hebben) zullen meer krimpen dan de latten dichter bij het middelpunt. Het is dan duidelijk dat om met elke lat een zo groot mogelijk afstand af te dekken, men deze zo dicht mogelijk bij het middelpunt moet leggen. Maar omdat beide eindpunten van de lijn op de rand liggen is het ook ongunstig om de meetlatten te dicht bij het middelpunt te leggen.
Het resultaat zal dus worden bereikt door een compromis te vinden tussen de twee voorwaarden, waardoor de kortste afstand uiteindelijk wordt voorgesteld door een kromme die lichtelijk bol is naar het middelpunt.
Als onze onderzoeker inplaats van afzonderlijke latten een koord zou spannen tussen de twee genoemde punten, zal het resultaat natuurlijk hetzefde zijn omdat elk deel van het koord dezelfde relativistische contractie ondervindt als de afzonderlijke latten. Ik wil hier benadrukken dat de vervorming van het gestrekte koord die plaatsvindt wanneer het platform begint te draaien niets te maken heeft met de gebruikelijke effecten van de centrifugale kracht; deze vervorming is onafhankelijk van de kracht waarmee het koord wordt gestrekt terwijl bovendien de normale centrifugale kracht in de andere richting werkt.
Als de waarnemer op het platform besluit zijn resultaat te controleren door de 'rechte lijn' die hij heeft gevonden te vergelijken met een lichtstraal, dan zal hij vaststellen het licht zich inderdaad volgens de door hem geconstrueerde lijn voortplant. Natuurlijk zal voor waarnemers die naast het platform staan de lichtstraal helemaal niet krom lijken; zij zullen de resultaten van de bewegende waarnemer interpreteren als de resultante van de rotatie van het platform en de rechtlijnige beweging van licht, en zullen U vertellen dat als U een kras maakt op een draaiende grammofoonplaat door Uw hand in een rechte lijn te bewegen, de kras op de plaat natuurlijk krom is.
Maar voor de waarnemer op het bewegende platform is de benaming 'rechte lijn' voor de door hem verkregen kromme helemaal in orde: het is de kortste afstand en ze valt samen met de lichtstraal in het referentie systeem. Nemen we nu aan dat hij drie punten neemt op de rand en deze verbindt met rechte lijnen zodat er een driehoek ontstaat. De som van de hoeken van de driehoek zal kleiner zijn dan twee rechte hoeken en hij komt dus tot de slotsom dat ruimte om hem heen gekromd is.
Laten we als ander voorbeeld aannemen dat twee waarnemers op het platform (A en B) besluiten om de waarde van pi te schatten door de omtrek (B) van het platform en de diameter (B) te meten. De meetlat van B zal geen invloed ondervinden van de draaibeweging omdat deze altijd loodrecht staat op de lengte van de lat. Anderzijds zal de lat van A altijd contractie ondergaan hij zal een omtrek vinden die groter is dan die van een niet draaiend platform. Door het resultaat van B te delen door dat van A vinden we een grotere waarde dan de waarde voor pi die we in de leerboeken vinden, hetgeen opnieuw een gevolg is van de kromming van de ruimte.
Niet alleen lengtemetingen worden beïnvloed door de draaibeweging. Een horloge op de rand zal een grote snelheid hebben en, volgens de overwegingen van de vorige lezing, zal deze langzamer lopen dan een horloge in het middelpunt van het platform.
Als twee onderzoekers (X en Y) hun horloges gelijk zetten in het middelpunt van het platform en X legt zijn horloge een tijdje op de rand dan zal hij als hij het weer meebrengt naar het middelpunt merken dat zijn horloge achterloopt bij dat van Y. Hij zal dus vaststellen dat op verschillende plaatsen op het platform alle natuurkundige processen met verschillende snelheden verlopen.
Laten we nu aannemen dat onze onderzoekers stoppen en wat nadenken over de ongebruikelijke resultaten van hun meetkundige metingen. Neem bovendien aan dat hun paltform gesloten is, een soort draaiende kamer zonder ramen, zodat ze hun beweging ten opzichte van de omgeving niet kunnen zien. Kunnen zij nu de waarnemingen verklaren als uitsluitend het gevolg van natuurkundige condities op hun platform, zonder rekening te houden met de draaibeweging ten opzichte van 'vaste bodem' waarop het platform staat?
Zoekend naar verschillen tussen de natuurkundige condities op hun platform en die op de 'vaste bodem' waardoor de waargenomen meetkundige veranderingen zouden kunnen worden verklaard, zullen ze direct opmerken dat er een of ander nieuwe kracht is die er toe leidt dat alle lichamen van het middelpunt naar de rand van de schijf worden getrokken. Het spreekt vanzelf dat ze de waargenomen effecten zullen toeschrijven aan de invloed van deze kracht door te zeggen dat bijvoorbeeld van twee horloges diegene langzamer zal lopen welke verder van het middelpunt af is in de richting waarin de nieuwe kracht werkzaam is.
Maar is dit werkelijk een nieuwe kracht, een die we niet waarnemen op de 'vaste bodem'? Zien we niet altijd dat alle lichamen naar het middelpunt van de aarde worden getrokken door wat we de zwaartekracht noemen? Natuurlijk, in het ene geval hebben we de aantrekking naar de rand van het platform en in het andere die naar het middelpunt van de aarde, maar dit betreft alleen een verschil in de verdeling van de kracht. Het is echter helemaal niet moeilijk om een ander voorbeeld te geven waarin de 'nieuwe' krachten als gevolg van een niet-eenparige beweging van het referentie systeem er hetzelfde uitzien als de zwaartekracht in deze zaal.
Stelt U zich een ruimteschip voor, geschikt voor interstellaire reizen, dat ergens vrij in de ruimte zweeft zover verwijderd van sterren dat er geen zwaartekracht is. Alle voorwerpen in zo'n schip en de onderzoeker die er in reist, hebben dus geen gewicht en zweven in de lucht net als Michel Ardent en zijn medereizigers naar de maan in het beroemde verhaal van Jules Verne.
Nu zetten we de motoren aan en ons ruimteschip begint te bewegen met langzaam toenemende snelheid. Wat gebeurt er nu in het schip? Het is gemakkelijk in te zien dat, zolang het schip versnelt, alle voorwerpen in het schip geneigd zijn naar de vloer te bewegen, of om hetzelfde iets anders te zeggen, de vloer beweegt naar de voorwerpen toe. Als onze onderzoeker bijvoorbeeld een appel in zijn hand heeft en deze loslaat, blijft de appel(ten opzichte van de omringende sterren) met een constante snelheid bewegen - de snelheid waarmee het ruimteschip bewoog op het moment dat de appel werd losgelaten. Maar het ruimteschip zelf ondervindt een versnelling; met als gevolg dat de vloer van de cabine die steeds sneller beweeegt, uiteindelijk de appel inhaalt en raakt; vanaf dat moment zal de appel voortdurend tegen de vloer blijven liggen, erop gedrukt door de gestadige versnelling.
Voor de onderzoeker in het ruimteschip ziet het er echter uit alsof de appel 'naar beneden valt' met een zekere versnelling, en na de vloer geraakt te hebben hierop blijft liggen door zijn eigen gewicht. Laat hij meerdere voorwerpen vallen, dan zal hij opmerken dat ze allemaal met dezelfde versnelling vallen (als hij de wrijving van de lucht verwaarloost) en hij zal zich herinneren dat dit precies de wet is van de vrije val ondekt door Galileo Galilei. Hij zal in feite niet het minste verschil kunnen waarnemen tussen de verschijnselen in zijn versnelde cabine en de gewone verschijnselen van de zwaartekracht. Hij kan het slingeruurwerk gebruiken, boeken op een plank zetten zonder het risco dat ze er vanaf vliegen en aan een spijker een portret hangen van Albert Einstein, die als eerste de equivalentie aangaf tussen de versnelling van een referentie systeem en de zwaartekracht en op grond hiervan de algemene relativiteitstheorie ontwikkelde.
Maar hier, net als in het eerste voorbeeld van het draaiende platform, zullen we verschijnselen waarnemen die niet voorkomen in de zwaartekracht theorieën van Galileo en newton. De lichtstraal dwars door de cabine zal worden gekromd en zal een scherm aan de tegenoverliggende wand op verschillende plaatsen verlichten afhankelijk van de versnelling van het ruimteschip. Door een waarnemer buiten het schip zal dit natuurlijk worden uitgelegd als het gevolg van het samenstellen van de eenparige rechtlijnige beweging van het licht en de versnelde beweging van de cabine. Ook de meetkunde raakt van slag; de som van de hoeken van een driehoek gevormd door drie lichtstralen zal groter zijn dan twee rechte hoeken en de omtrek van een cirkel gedeeld door haar diameter zal groter zijn dan pi. We hebben hier twee van de eenvoudigste voorbeelden bekeken van versnelde systemen, maar de hierboven genoemde equivalentie blijft geldig voor iedere willekeurige beweging van een star of vervormbaar referentie systeem.
We komen nu aan een uiterst belangrijke vraag. Zojuist hebben we gezien dat in een versneld referentie systeem een aantal verschijnselen zijn waar te nemen die we niet kenden uit de gewone zwaartekracht velden. Bestaan deze verschijnselen, zoals de kromming van een lichtstraal of het langzamer gaan lopen van een klok, ook in een zwaartekracht veld veroorzaakt door een massa? Of , met andere woorden, zijn de effecten van versnelling en die van de zwaartekracht niet alleen overeenkomstig, maar identiek? Hoewel het vanuit een heuristisch standpunt erg verleidelijk is de volkomen gelijkheid van deze twee soorten effecten aan te nemen, is het duidelijk dat we het uiteindelijke antwoord alleen maar proefondervindelijk kunnen krijgen. En tot groot genoegen van ons menselijk brein, dat eenvoud en innerlijke samenhang eist van de wetten van het heelal, bewijzen proeven het bestaan van deze nieuwe verschijnselen ook in het ons bekende zwaartekracht veld. Natuurlijk zijn de voorspelde effecten van de versnelling en zwaartekracht veld equivalentie uiterst klein: daarom zijn ze ook pas ontdekt toen natuurkundigen er naar gingen zoeken.
Gebruikmakend van het hierboven gegeven voorbeeld van versnelde systemen, kunnen we eenvoudig de orde van grootte schatten van de twee belangrijkste verschijnselen van de relativistische zwaartekracht: de verandering van de kloksnelheid en de kromming van een lichtstraal.
Laten we eerst het voorbeeld nemen van het draaiende platform. Het is bekend uit de klassieke mechanica dat de centrifugale kracht uitgeoefend op een deeltje met eenheidsmassa op afstand r van het middelpunt gelijk is aan:
\begin{displaymath}F=r \omega^2 \end{displaymath} (1)
waarin $\omega$ de constante hoeksnelheid is waarmee het platform ronddraait.
De totale arbeid verricht door deze kracht om het deeltje vanuit het midden naar de rand te verplaatsen is dan:
\begin{displaymath}W=1/2R^2\omega^2 \end{displaymath} (2)
waarin R de straal is van het platform. Volgens het hierboven geformuleerde equivalentiebeginsel, moeten we F identificeren met de zwaartekracht op het platform, en W met het zwaartekracht potentiaalverschil tussen het middelpunt en de rand.
Zoals we ons van de vorige lezing herinneren, vertraagt een klok die met een snelheid v beweegt met een factor:
(1-(v/c)2)1/2 = 1- 1/2(v/c)2+ ....... (3)
Als v klein is ten opzichte van c mogen we de volgende termen verwaarlozen. Met $v=R\omega$, wordt de 'vertragings factor' dan:
1- W/c2 (4)
waarin de verandering van de kloksnelheid is uitgedrukt in het zwaartekracht potentiaalverschil tussen twee plaatsen.
Als we een klok op de grond zetten en een andere boven op de Eiffel toren (300m hoog) is het potentiaalverschil zo klein dat de klok op de grond slechts met een factor 0,999.999.999.999.97 langzamer loopt.
Het verschil in zwaartekracht potentiaal op het oppervlak van de aarde en die op het oppervlak van de zon is veel groter en leidt tot een vertragingsfactor voor een klok op de aarde van 0,999.999.5 ten opzichte van een op de zon en deze factor is met nauwkeurige metingen waar te nemen. Natuurlijk is er niemand naar de zon gegaan om daar een klok neer te zetten. Natuurkundigen hebben betere methoden. Met behulp van spectroscopie kunnen we de trillingstijden van verschillende atomen op het oppervlak van de zon waarnemen en deze vergelijken met trillingstijden van dezelfde atomen geplaatst in de vlam van een Bunsen brander in het laboratorium. De trillingen van de atomen op het oppervlak van de zon moeten met een factor gegeven door formule (4) trager verlopen en het uitgezonden licht moet iets 'roder' zijn dan in het geval van een zelfde lichtbron op aarde. Deze roodverschuiving is inderdaad waargenomen in het spectrum van de zon en dat van andere sterren waarvan het spectrum precies kon worden gemeten, en de resultaten zijn in overeenstemming met de theorie.
Het bestaan van de roodverschuiving bewijst dat processen op de zon wat trager verlopen als gevolg van de grotere zwaartekracht potentiaal op haar oppervlak.
Om een idee te krijgen over mate van kromming van een lichtstraal in een zwaartekracht veld is het eenvoudiger om gebruik te maken van het voorbeeld van het ruimteschip. Als l de breedte is van de cabine, dan geldt voor t, de tijd die het licht nodig heeft om deze afstand af te leggen:
t= l/c (5)
In deze tijd legt het ruimteschip dat met een versnelling g beweegt een afstand L af waarvoor geldt:
L = 1/2 g t2 = 1/2 g l2/c2 (6)
Voor de orde van grootte van de hoek waarover de richting van de lichtstraal is veranderd geldt:
\begin{displaymath}\phi = L/l = 1/2 gl/c^2 {\rm radialen} \end{displaymath} (7)
en is dus groter naarmate l, de afstand die het licht heeft afgelegd in het zwaartekracht veld, groter is. In dit geval dient de versnelling g van het ruimteschip natuurlijk te worden beschouwd als de versnelling van de zwaartekracht. Als ik een lichtstraal door deze collegezaal stuur kan ik ruwweg nemen l=1000cm. De zwaartekracht versnelling g op het oppervlak van de aarde is 981 cm/sec2 en met c=3.1010 cm/sec krijgen we:
\begin{displaymath}\phi =(100*981)/(2*(3.10^{10})^2)=5.10^{-16}{\rm radialen}= 10^{-10} {\rm boogseconde}. \end{displaymath} (8)
U ziet dat de kromming van een lichtstraal langs het oppervlak van de aarde niet te zien is! Maar, op het oppervlak van de zon is g gelijk aan 27.000 cm/sec2.
Nauwkeurige berekeningen laten zien dat de afbuiging van een lichtstraal die langs het oppervlak van de zon loopt 1,75 boogseconde moet zijn, en dit is precies de waarde die sterrenkundigen vonden voor de verplaatsing van de schijnbare positie van sterren, gezien langs de rand van de zon bij een totale verduistering. U ziet dat ook hier, waarnemingen een volkomen gelijkheid hebben aangetoond van de effecten van versnelling en die van zwaartekracht.
We kunnen nu weer terug naar ons probleem van de gekromde ruimte. U herinnert zich dat, gebruikmakend van de meest redelijke definitie van een rechte lijn, we tot de conclusie kwamen dat de meetkunde in een niet-eenparig bewegend referentie systeem verschilt van die van Euclides en dat we dergelijke ruimtes als gekromd ruimtes moeten beschouwen. Omdat elk zwaartekracht veld equivalent is met een versnelling van het referentie systeem, betekent dit dat elke ruimte waarin een zwaartekracht veld aanwezig is, een gekromde ruimte is. Of, om nog een stapje verder te gaan, dat een zwaartekracht veld een natuurkundige manifestatie is van de kromming van de ruimte.
De kroming van de ruimte in elk punt moet dus worden vastgesteld aan de hand van de massaverdeling en in de buurt van zware lichamen moet de kromming haar maxima bereiken. Ik kan niet ingaan op het vrij ingewikkelde wiskundige model dat de eigenschappen van gekromde ruimtes beschrijft als functie van de massaverdeling. Ik merk alleen op dat deze kromming in het algemeen niet wordt bepaald door een, maar door tien verschillende getallen die bekend staan als de zwaartekracht potentiaal componenten $g_{\mu\nu}$ en die een generalisatie zijn van de klassieke zwaartekracht potentiaal die ik hiervoor W heb genoemd. Overeenkomstig wordt de kromming in elk punt beschreven door tien verschillende krommingsstralen aangegeven met $R_{\mu\nu}$. Deze krommingsstralen zijn verbonden met de massaverdeling door de fundamentele vergelijking van Einstein:
\begin{displaymath}R_{\mu\nu}-1/2g_{\mu\nu}R = -\kappa T_{\mu\nu} \end{displaymath} (9)
Waarin $T_{\mu\nu}$ afhangt van dichtheden, snelheden en andere eigenschappen van het zwaartekracht veld veroorzaakt door weegbare massa's.
Om deze lezing te beëindigen zou ik nog graag een van de meest boeiende gevolgen van vergelijking (9) willen bespreken.
Beschouwen we een ruimte waarin de massa's gelijkmatig zijn verspreid, zoals bijvoorbeeld onze ruimte gevuld is met sterren en sterrenstelsels, moeten we tot de conclusie komen dat, afgezien van hier en daar wat grote krommingen in de buurt van afzonderlijke sterren, de ruimte een geregelde neiging moet bezitten om gelijkmatig gekromd te zijn over lange afstanden. Wiskundig zijn er enkele verschillende oplossingen waarvan sommigen overeenkomen met een ruimte die uiteindelijk gesloten is en dus een eindige inhoud heeft, en andere die een oneindige ruimte geven vergelijkbaar met een zadeloppervlak zoals ik aan het begin van deze lezing besprak. Het tweede belangrijke gevolg van vergelijking (9) is dat dergelijke gekromde ruimtes zich in een toestand van gestage uitdijing of van gestage samentrekking moeten bevinden, hetgeen natuurkundig betekent dat de deeltjes die de ruimte vullen zich van elkaar verwijderen of, tegenovergesteld, zich naar elkaar toe bewegen. Verder kan worden aangetoond dat voor de gesloten ruimtes met een eindige inhoud, de uitdijing en samentrekking elkaar periodiek opvolgen-dit zijn de zogenaamde pulserende werelden. Anderzijds zijn de oneindige zadelachtige ruimtes voortdurend in een toestand van uitdijing of van samentreking.
De vraag welke van deze wiskundige mogelijkheden overeenkomt met de ruimte waarin wij leven zal niet door natuurkundigen, maar door sterrenkundigen moeten worden beantwoord en ik ga er hier niet verder op in. Ik merk alleen op dat tot nu toe sterrenkundige waarnemingen duidelijk aantonen dat onze ruimte uitdijt ofschoon de vraag of deze uitdijing eens zal veranderen in een samentrekking, en de vraag of de ruimte eindig of oneindig is, nog geen definitief antwoord hebben.

EINDE