We hebben gezien dat de uitgangspunten van Einstein's relativiteitstheorie verrassend eenvoudig zijn. Met weinig middelen kan je zelf al heel leuke resultaten behalen. Voor de hier volgende opgaven 1 en 2 is slechts het constant zijn van de lichtsnelheid (die we altijd c noemen) nodig. In opgave 3 is ook nog de Lorentzcontractie (het feit dat voor een bewegende waarnemer voorwerpen in de lengterichting verkort lijken) nodig. Noem L₀ de lengte die de waarnemer meet als een voorwerp in rust is ten opzichte van de waarnemer. Als het voorwerp niet in rust is t.o.v de waarnemer, meet deze een lengte L, gegeven door

Veel plezier met de opgaven!

1. Het "optellen" van snelheden

De niet-relativistische manier van het (letterlijk) optellen van snelheden kan niet goed zijn, omdat deze kan leiden tot snelheden die groter zijn dan de lichtsnelheid. Hoe moet het dan wel? Om daar achter te komen voeren we een gedachtenexperiment uit (bedacht door N.D. Mermin).

We stellen ons een trein voor, rijdend met snelheid u (t.o.v. een waarnemer). Vanuit één kant (de linkerkant in het plaatje) van de trein worden tegelijkertijd een kogel (met snelheid w t.o.v. een waarnemer) en een lichtflits naar de andere kant geschoten. De lichtflits is natuurlijk sneller aan de andere kant dan de kogel, en wordt daar gereflecteerd in een spiegel. Op de weg terug komt de lichtflits de kogel tegen op een bepaalde fractie f van de lengte van de trein (die we d zullen noemen). Belangrijk is nu dat voor alle waarnemers f hetzelfde is; alhoewel verschillende waarnemers van mening zullen verschillen over de lengte d van de trein, zullen ze het er over eens zijn dat de kogel en lichtflits elkaar ontmoeten op een specifieke fractie van die lengte. We gaan nu f berekenen.

a.

We gaan eerst uit van de waarnemer buiten de trein. Noem de tijd die de lichtflits er voor nodig heeft om de spiegel te bereiken T₁. In deze tijd heeft de lichtflits een afstand cT₁ afgelegd. Anderzijds heeft de lichtflits de lengte van de trein afgelegd, plus de afstand die de spiegel is verplaatst in de tussentijd t.g.v. de snelheid van de trein. De totale afstand kan dus ook worden uitgedrukt in d, u en T₁. Doe dit.

b.

Noem de tijd die de lichtflits er voor nodig heeft om vanaf de spiegel de kogel te bereiken T₂. In deze tijd is de afstand fd afgelegd, verminderd met de afstand die de trein is tegemoet gekomen in de tijd T₂. Laat nu zien dat de verhouding T₂/T₁ niet van d afhangt.

c.

De afstand die de kogel heeft afgelegd in de tijd T₁+T₂, is precies gelijk aan de afstand die de lichtflits aflegt in een tijd T₁, verminderd met de afstand afgelegd in de tijd T₂. Ook hieruit is T₂/T₁ te vinden. Leidt nu af dat de fractie f gegeven wordt door

d.

We hebben benadrukt dat f hetzelfde is voor alle waarnemers. In het bijzonder zal een waarnemer die met de trein meereist, vinden dat de trein stilstaat t.o.v. hem (u=0), terwijl de kogel met een snelheid v t.o.v. hem beweegt, en dus dat f = (c-v)/(c+v) (controleer dit!). Laat nu zien dat de snelheid w (die volgt uit het "optellen" van u en v) van de kogel in de trein wordt gegeven door

Dit is het goede resultaat! Bestudeer deze formule: Wat is de w als: u of v nul is; u of v gelijk aan de lichtsnelheid c is; als u en v klein zijn t.o.v. c?

2. Superluminale snelheden

Volgens de relativiteitstheorie kan niets sneller gaan dan het licht. Toch heb je misschien wel eens gehoord of gelezen dat astronomen soms objecten meten met snelheden groter dan de snelheid van het licht (zgn. superluminale snelheden). Is dat niet in strijd met de relativiteitstheorie?

We beschouwen een verweggelegen quasar, die op een tijdstip t=0 een gaswolk uitstoot. De snelheid van de gaswolk noemen we v, en de afstand van de quasar tot de aarde noemen we d. De richting waarin de gaswolk wordt uitgestoten, maakt een hoek met de gezichtslijn.

a.

Op welk tijdstip ziet een waarnemer op aarde de uitstoot van de gaswolk? Na een tijd t is de gaswolk een afstand vt verplaatst, waarvan in de richting van de waarnemer, en in de richting loodrecht op de gezichtslijn. Op welk tijdstip bereikt het licht van de gaswolk op dit punt, de aarde?

b.

De transversale snelheid v_obs (dat is de snelheid loodrecht op de lijn van waarneming), zoals die wordt waargenomen op aarde, is de afstand loodrecht op de lijn van waarneming die de gaswolk aflegt (in een tijd t), gedeeld door het tijdsverschil tussen de waarneming van het uitstoten van de gaswolk en de waarneming van de gaswolk nadat deze de afstand vt heeft afgelegd. Laat zien dat deze snelheid wordt gegeven door

Is dat groter of kleiner dan de werkelijke transversale snelheid ? Kun je een en v vinden waarvoor v_obs groter is dan de lichtsnelheid?

c.

Neem v vast, en bekijk v_obs als functie van . v_obs is maximaal als

(probeer dit af te leiden). Laat zien dat in dat geval geldt

.

Hoe groot moet v minstens zijn om te zorgen dat v_obs groter is dan de lichtsnelheid?

d.

Waarom is dit niet in strijd met de relativiteitstheorie?

3. Voorwerpen waargenomen bij hoge snelheden

De Lorentzcontractie zegt dat voor een bewegende waarnemer voorwerpen in de lengterichting van zijn beweging korter zijn. Equivalent: voor een stilstaande waarnemer zijn bewegende voorwerpen korter. Je zou nu misschien denken dat als een voorwerp een hoge snelheid heeft, je het vervormd ziet, omdat het in de lengterichting korter wordt, maar in andere richtingen niet. De werkelijkheid is echter iets subtieler.

a.

We beschouwen een rechthoekig blok zoals aangegeven links in het plaatje. Het blok beweegt op grote afstand van een waarnemer, met een snelheid u. Aangegeven zijn de hoekpunten a, b en c. Op een iets latere tijd (die we dadelijk zullen specificeren) zijn de hoekpunten verplaatst naar a', b' en c'. Kijk nu naar de punten b' en c'. In het ruststelsel van het blok liggen deze een lengte L uit elkaar. Wat is de afstand tussen b' en c' die de waarnemer ziet? Kijk nu naar het punt a'. Dit punt ligt verder weg dan b' en c'. Het licht van dit punt zal dus langer onderweg zijn dan dat uit b' en c'. Hoeveel langer (de afstand van a' tot b' noemen we B)? Dit betekent dat we het licht uit punt a' niet tegelijkertijd met dat uit b' en c' zullen ontvangen! In plaats daarvan ontvangen we tegelijkertijd met licht uit b', c' het licht uit een punt a dat verschoven ligt t.o.v a. De verschuiving is gelijk aan de snelheid van het blok, vermenigvuldigd met de tijd die het licht erover doet om de breedte van het blok over te steken. Beschrijf nu hoe het blok door de waarnemer wordt waargenomen.

b.

Beschouw nu een stilstaand blok, dat geroteerd is over een hoek (zie rechter plaatje). Een waarnemer kijkt vanaf dezelfde richting als onder onderdeel a tegen het blok aan. Hoe neemt hij het blok waar?

c.

Vergelijk de situaties van de onderdelen a en b. Als het goed is zie je een opmerkelijke overeenkomst: de waarnemer ziet in de situatie onder a iets vergelijkbaars als onder b! De situaties zijn zelfs precies identiek als we de snelheid u in onderdeel a relateren aan de hoek onder b. Geef deze relatie.

d.

Denk nu eens na hoe diverse objecten eruit zien als ze worden waargenomen met een hoge snelheid. Denk bijvoorbeeld aan een bol (zoals een doorzichtige gasnevel), of een platte ronde schijf, onder diverse hoeken met de bewegingsrichting.

Het is misschien aardig om te weten dat dit effect pas beschreven werd in 1959 (door J.Terrell), terwijl de speciale relativiteitstheorie al van 1905 dateert!

De uitwerkingen van deze opgaven staan beschreven in het collegedictaat Speciale Relativiteitstheorie. Maar natuurlijk eerst zelf de opgaven maken. Volg daarna de links voor opgave 1 (hoofdstuk 4), opgave 2 (paragraaf 4.2) en opgave 3 (paragraaf 6.3). Je zult zien hoeveel voldoening het geeft dat je dat allemaal eerst zelf hebt kunnen "ontdekken". Dat is waarom natuur- en sterrenkunde zo leuk is.

Deze opgaven werden door Arjan Keurentjes samengesteld in het kader van een "werk-proefcollege" bij het proefcollege relativiteitstheorie, afgestemd op leerlingen van 5 en 6 VWO. Je kunt op de Web-pagina meer informatie vinden over de speciale relativiteitstheorie, en het eerstejaarscollege natuur- en sterrenkunde dat hieraan gewijd is.